题目0543:二叉树的直径

题目描述

给定一棵二叉树,你需要计算它的直径长度。一棵二叉树的直径长度是任意两个结点路径长度中的最大值。这条路径可能穿过也可能不穿过根结点。

示例:给定二叉树

          1
         / \
        2   3
       / \     
      4   5    
返回3, 它的长度是路径 [4,2,1,3] 或者 [5,2,1,3]。

注意:两结点之间的路径长度是以它们之间边的数目表示。

解题技巧

• 方法1:深度优先搜索

首先我们知道一条路径的长度为该路径经过的节点数减一,所以求直径(即求路径长度的最大值)等效于求路径经过节点数的最大值减一。

而任意一条路径均可以被看作由某个节点为起点,从其左儿子和右儿子向下遍历的路径拼接得到。

如图我们可以知道路径[9, 4, 2, 5, 7, 8]可以被看作以2为起点,从其左儿子向下遍历的路径[2, 4, 9]和从其右儿子向下遍历的路径[2, 5, 7, 8]拼接得到。

假设我们知道对于该节点的左儿子向下遍历经过最多的节点数L(即以左儿子为根的子树的深度)和其右儿子向下遍历经过最多的节点数R(即以右儿子为根的子树的深度),那么以该节点为起点的路径经过节点数的最大值即为L+R+1。

我们记节点$\textit{node}$为起点的路径经过节点数的最大值为$d_{\textit{node}}$,那么二叉树的直径就是所有节点$d_{\textit{node}}$的最大值减一。

最后的算法流程为:我们定义一个递归函数depth(node)计算$d_{\textit{node}}d$函数返回该节点为根的子树的深度。先递归调用左儿子和右儿子求得它们为根的子树的深度L和R,则该节点为根的子树的深度即为$max(L,R)+1$。该节点的$d_{\textit{node}}$值为L+R+1

递归搜索每个节点并设一个全局变量ansans记录$d_\textit{node}$的最大值,最后返回ans-1即为树的直径。

# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.left = None
#         self.right = None

class Solution(object):
    def diameterOfBinaryTree(self, root):
        self.ans = 1
        def depth(node):
            # 访问到空节点了，返回0
            if not node: return 0
            # 左儿子为根的子树的深度
            L = depth(node.left)
            # 右儿子为根的子树的深度
            R = depth(node.right)
            # 计算d_node即L+R+1 并更新ans
            self.ans = max(self.ans, L+R+1)
            # 返回该节点为根的子树的深度
            return max(L, R) + 1

        depth(root)
        return self.ans - 1

复杂度分析

时间复杂度:O(N),其中N为二叉树的节点数,即遍历一棵二叉树的时间复杂度,每个结点只被访问一次。

空间复杂度:O(Height),其中Height为二叉树的高度。由于递归函数在递归过程中需要为每一层递归函数分配栈空间,所以这里需要额外的空间且该空间取决于递归的深度,而递归的深度显然为二叉树的高度,并且每次递归调用的函数里又只用了常数个变量,所以所需空间复杂度为O(Height)。